فلسفه ریاضی به زبان ساده و مختصر

✍فلسفه ریاضی به زبان ساده و مختصر

ریاضیات پدیده ای است که به اعداد،اشکال،اندازه و مقدار و خصوصیات آنها میپردازد.تاریخ تحلیل و بررسی ریاضیات به دوران کهن در میان مصری ها، هندو ،چینی ها و….باز میگردد.و سپس اقلیدس بود که ریاضیات را به شکلی منظم ارائه داد.به موازات فعالیت ریاضیدانان ،از همان ابتدا پرسش هایی مطرح میشد که تا امروز همچنان ادامه دارد.

برای مثال: اعداد چه چیزی هستند؟آیا اعداد خارج از ذهن ما وجود دارند؟اشکال مختلف چطور؟آیا خارج از ذهن در طبیعت وجود دارند؟ معیار ما برای صدق و کذب قضایای ریاضی چیست؟رابطه ذهن و ریاضی چیست؟و پرسش هایی با رویکرد منطق ، برای مثال آیا اثبات ریاضی ننوعی منطق است؟این نوع اثبات در ریاضی چه اعتبار منطقی دارد؟و پرسش های بسیاری از این دست.در کل پرسش های مرتبط با ریاضیات را میتوان به دو دسته ریاضی و فلسفه ریاضی تقسیم نمود. پرسش هایی که درون ریاضی مطرح است و در ریاضیات به آنها پرداخته میشود.و پرسش هایی که در مورد خود ریاضی به عنوان یک “کل” طرح میشود.که ما در اینجا به پرسش های دوم، یعنی فلسفه ریاضیات میپردازیم که این پرسش ها منجر به شکلگیری مکاتب مختلف در فلسفه ریاضی شد.در این مطلب تا حد ممکن سعی میکنیم بطور خلاصه به آنها بپردازیم.
افلاطون وافلاطونیان (platonism)

ممکن است بدانید که یکی از اولین مکاتب فلسفی دوران باستان که شهرت بسیاری پیدا کرد با افلاطون و افلاطویان (که شاگردان افلاطون بودند) آغاز شد.آنها مسائل ریاضی را اشیایی واقعی و عینی دانسته و تمام اجزای ریاضی ،یعنی اعداد و اشکال و …. را مستقل از ذهن ما در طبیعت میدانستند.

البته آنها وجود ریاضیات را از اشیاء فیزیکی ، فضا و زمان مستقل در نظر میگرفتند و تغییر و تحول آن را ناممکن میدانستند. در نظر آنها ریاضیات اموری ازلی و ابدی بوده و هیچوقت نابود نمیشود.آنها معتقد بودند ریاضیات همانند اشیایی مشخص ، و اجزای ریاضی دارای ویژگی خاص هستند؛ یعنی هر گزاره ریاضی یک جواب واحد دارد.اما ممکن است ما بعضی از این جواب ها را نیافته باشیم. افلاطون ریاضیدان را به زیست شناس تشبیه میکرد و می گفت: ریاضیدان چیزی را اختراع نمیکند، بلکه کشف میکند.

برای مثال در طبیعت یک شکل مثل دایره ،وجود خارجی دارد، درست همانند سنگ، گل و گیاه و…
ریاضیدانان آنها را با فرایندی که با ادراک پیش میرود کشف میکنند.این نگرش ادعا میکند قوانین ریاضی وجود دارند و ما چاره ای جز پیروی از آنها نداریم.وقتی عددی را مینویسیم قبل از نگارش عدد،تعیین شده است که این عدد چه ویژگی هایی دارد.البته پس از آنها نو افلاطونیان و تا امروز باورمندان به این مکتب همچنان وجود دارند. که بین آنها فلاسفه و دانشمندان بسیاری بوده و هستند
منطق گرایی logicism

منطق گرایان معتقدند ریاضیات نیز شاخه ای از فلسفه است و منطق بر ریاضی مقدم است.در نگاه آنها ریاضیات میبایست در چهارچوب منطق تعریف شود.ریاضیات ابزاری از منطق است.این نگرش را اولین بار لایب نیتس مطرح کرد.او که از پیشگامان منطق ریاضی بود، میگفت:نظام ریاضی قالب مناسب تفکر است و بهترین ابزار برای تبیین اندیشه ها می باشد. به نظر لایب نیتس اساس ریاضی و منطق ،اصل عدم تناقض است.منطق گرایان معتقدند با تبدیل ریاضیات به گزاره های منطقی می توان مبنایی برای اصول منطق بنا کرد.

“ریچارد دِد کیند” و “فرگه” شروع به تحلیل و تبدیل مفاهیم ریاضی به مفاهیم منطقی کردند و در ادامه آن “پئانو” شروع به تحلیل و تبیین قضایای ریاضی با نمادگرایی منطقی کرد.پس از آن “راسل” و “وایتهد” در “اصول ریاضیات” ارجاع ریاضیات به منطق را تکمیل نمودند. اصول ریاضیات سعی می کند تمام ریاضیات را به منطق تبدیل کند. پیش از فرگه ریاضیدانان نشان داده بودند که تمام مفاهیم “حساب” قابل تجزیه به اعداد طبیعی هستند، اما مساله مهم منطق گرایان استخراج اعداد طبیعی از مفاهیم منطقی بود.فرگه سعی کرد این مساله را حل کند و پس از آن راسل و وایته‌ به همان نتایج فرگه رسیدند.نتیجه این بود که اعداد طبیعی در واقع نسبت هایی منطقی هستند که نه به اشیاء ، بلکه به مفاهیم تعلق دارند.برای مثال عدد 4 به معنی و قرار گرفتن 4 شئ یا…تحت عنوان یک مفهوم منطقی است و قضایی ریاضی از اصولل منطقی یا قیاس منطقی استخراج می شوند. منطق گرایی همان بررسی بنیادین مبانی ریاضیات است.
صورت گرایی formalism

از قرن بیستم صورت گرایان سعی کردند مفاهیمی در ریاضی محض مثل عدد و تناظر و بخش های ذوقی و شهودی که بین هندسه و مکانیک و ریاضیات برقرار بود را جدا کنند.آنها معتقد بودند که این مفاهیم در ریاضیات نفوذ کرده اند.به نظر آنها کلمات و مفاهیم منطقی دارای محتوا هستند و مفاهیم منطقی در گزاره ها با آن محتوای کلمات مخلوط میشوند.به این دلیل باید ریاضیات را از آن جدا کرد.چرا که ریاضیات مفاهیم مطلق و محض را ارائه میدهد .صورت گرایان میگفتند برای اجتناب از “زبان” میبایست از “سمبل” استفاده کرد. سمبل ها آلوده به مفاهیم جانبی نیستند و از این راه میتوان ریاضیات را بر پایه منطق بنا کرد.این جریان هم به نحوی با پنائو و راسل و فرگه آغاز شد ، اما “دیوید هیلبرت” پایه گذار صورت گرایی بود.در این نگرش تمام تلاش این بود که منطق با دقت بکار گرفته شود و ابهامات زبانی از آن تفکیک شود.معتقدین به صورت گرایی میگویند ریاضی در عالم خارج از ذهن وجود واقعی ندارد و ذهن انسان ها مفاهیم را ساخته است.یعنی اعداد ،خط ، نقطه و….همگی ذهنی هستند یا مثلا وقتی میگوییم 2 عدد توپ ، در واقع به چیزی غیر از خود مفهوم 2 اشاره داریم. 2 عدد توپ حضور فیزیکی هستند و تمام اشیاء اینگونه وجود خارجی دارند. اما برای مثال خود عدد 2 چیزی ذهنی است.اینها سمبل ها و نمادهایی هستند که شکلی “صوری” و ظاهری دارند. در نظر صورت گرایان ریاضیات دانشی است مبتنی بر استدلال منطقی و قضایای ریاضی از اصول موضوعه استنتاج میشوند و نتایج آن به خطا آلوده نمیشوند.در صورت گرایی ریاضیات هیچ محتوا و معنایی ندارد و فقط طرحی مجزا و ساختاری استدلالی هستند(توصیفی نیستند).
به همین دلیل ریاضیات را علم نمی دانند ، چرا که موضوعات مادی را بررسی نمی کند. بلکه زبانی است برای تبیین نظریات علمی.آنها بر خلاف منطق گرایان ریاضی را بر پاسه منطق نمی دانند، بلکه بر پایه نمادهای صوری می دانند.
شهود گرایی intuitionalism

شهودگرایی مکتبی است که در سال 1908 توسط ای براور بنیانگذاری شد.البته پیش از او کرونکر و پوانکاره نیز بعضی از نظرات شهودگرایانه داشتند.از ابتدا تا امروز این مکتب تکامل یافته است و ریاضیدانان بزرگی هم به آن پیوسته اند.طبق نظرات شهود گرایی مبنای ریاضیات شهود است.در واقع بنیاد ریاضی ادراک شهودی دارد.یعنی بر پایه ادراک شهودی 2+2=4 و… میشود. ریاضی یک فعالیت ذهنی است که کشف وقایع نتیجه این فعالیت ذهنی میباشد.اندیشه های شهود گرایی با افلاطونیان کاملا مغایرت دارد. شهودگرایان قائل به وجود یک قضیه ریاضی مستقل از اندیشه نیستند.اما چیزی حقیقی و اثبات شدنی را که توسط اندیشه درک میشود را میپذیرند.از سوی دیگر در اختلاف با وایتهد و راسل که میگفتند ارتفاع نقیضینو قانون تناقض معادل هم هستند، شهودگرایان میگویند اینچنین نیست. و معتقدند در شرایطی خاص ارتفاع نقیضین هم امکان دارد.

شهودگرایان حتی دستگاه منطقی ویژه خود را نیز ، بنا نهادند.در سال 1930 “هیتینگ” این دستگاه منطقی (منطق علامتی) را ارائه داد. پس از آن منطق ریاضی در این مکتب جزو شاخه های ریاضیات است. درست نقطه مقابل منطق گرایان که ریاضیات را شاخه ای از منطق تلقی میکردند.
واقع گرایی realism

این دیدگاه در فلسفه ریاضیات ، با واقع گرایی در فلسفه ، میتواند تفاوت هم داشته باشد. یعنی یک واقع گرا بعنوان دیدگاه فلسفی میتواند در فلسفه ریاضیات واقع گرا نباشد، یا بلعکس.البته لزوما اینگونه نیست.در این دیدگاه که در شرق نیز جریان داشته است، ریاضیات علم دو وجهی قلمداد میشود.یعنی علاوه بر اینکه در این دیدگاه ، ریاضیات یک علم مجزاست، در علوم دیگر مانند فیزیک و… بکار میرود.و البته به عنوان یک ابزار .

در این دیدگاه قطعیت و قدرت پیشبینی علوم به جهت بکارگیری ریاضیات است.در استدلال واقعگرایی نه تنها ریاضیات یک علم،و در علوم دیگر بعنوان ابزار استفاده میشود، بلکه در خود ریاضیات ابزاری برای سهولت قضایای ریاضی نیز وجود دارد.لگاریتم و قضایایی از این دست که سعی بر ساده کردن قضایا دارند. به عبارت دیگر ، ریاضیات نه تنها ابزاری در اختیار علوم است،بلکه ابزاری برای خود ریاضی نیز، هست. در این دیدگاه حالت سومی که نه شهودگرایی و نه منطق گرایی میباشد، جاریست. یعنی ریاضیات نه شاخه ای از منطق است و نه منطق شاخه ای از ریاضیات، بلکه ریاضیات، خود یک علم مجزاست.مفاهیم ریاضی نزد واقع گرایان ، مفاهیم منطقی نبوده، بلکه مفاهیمی فلسفی یا به اصطلاح معقولات ثانی فلسفی هستند.که مانند شهود گرایان از ذهن استخراج شده و ولی موصوف آن در خارج ذهن وجود دارد.اما نزدیکی بین منطق و ریاضی را از آن جهت میدانند که هر دوی آنها صوری هستند، و دلیل نزدیکی آنها را در این میدانند، نه آنکه نسبت ویژه و کاربردی با یکدیگر داشته باشند. اینشتین در این باره میگوید : اندیشه منطقی به تنهایی، نمیتواند صرفا پاسخ صحیح در مورد طبیعت تجربی بدهد.قضایای ریاضی در این دیدگاه “شرطیه متصله” هستند. یعنی وقتی در هندسه اقلیدسی مجموع زوایای مثلث 180 درجه است، این در فضای مسطح بکار میرود.یعنی وابسته به شرط دیگریست . از نظر واقع گرایان ، تمام قضایای ریاضی اینگونه هستند و صدق و کذب آنها وابسته به گزاره دیگر است.

این مساله شاید کمی پیچیده باشد، اما با ذکر مثال ، ساده تر فهم میشود، و البته نکته بسیار مهمی است. فرض کنید بگوییم :ـ
“اگر 4 فرد باشد”
” مجذور 4 فرد است.”

این قضیه را اگر به شکل ریاضی تصور کنیم، یک قضیه صادق میشود!در صورتی که میدانیم 4 عدد زوج است، نه فرد. در ریاضی به همین ترتیب ممکن است نتیجه ای از قضایا کسب شود، که در روابط آن اشکالی نبوده، در توصیف پدیده هم صادق باشد، اما همچنان کل مساله خطا کند.
📎پ.ن: این توضیحات کاملا فشرده، به سبک مطالب دیگری که ارائه میشود بوده و از استدلال و جزییات بسیار گسترده اجتناب شده است. در مورد مکاتب لازم به ذکر است، از نظرات شخصی اجتناب شده است،به همین دلیل کلیات مباحث آنها، به طور فشرده تبیین شد.و اینکه صرفا برای شناخت و آگاهی مخاطب از اصل ادعاها و مواضع آنها ،این مطلب ارائه شد.

📚منابع:

-مقاله “تجربه ریاضی”نوشته: فیلیپ دیویس و روبی هرش
–
– مقاله :فلسفه ریاضی/ نوشته کارناپ، ص 30

-تاریخ ریاضیات، ج 2

-عدد زبان علم، توبیاس دانتزیک، ترجمه ص 128

-برهان گودل، ناگل و نیومن و تارسکی/ ص 35-37.

-فرهنگ مصاحب/ج 2، بخش 1، ص 1945

-فلسفه ریاضی، ص 22.

-فرهنگ، کتاب دوم و سوم، مقاله مدل و صورت منطقی

-برهان گودل، ص 33.

-منطق صوری، خوانساری ص 49.

-فقر تاریخی نگری/ ص 245

-فیزیک و واقعیت، آلبرت اینشتین، ص 24

تاریخ ریاضیات ج 2، ایوز وهاورد، ص 321.

جنگ ریاضی، سال 1366، شماره 1، ص 13.

مقاله آشنایی با فلسفه ‏های ریاضی، دکتر بیژن نژاد، ص 40

تاریخ ریاضیات، ج 2، ص 325.