قضیه گودل : (کرت گودل)
قضیه گودل
آنچه بیش از هر چیز در کار ریاضیدانان مشهود است، تخیل عقل یا دقیق‌تر شور منطقی است. کار آنان همان چیزی است که در یک شعر یا انقلاب راستین رخ می‌دهد. کُرت گودل بی‌تردید یکی از آنهاست؛ ریاضیدانی که نبوغ و البته شخصیت کافکایی‌اش با اثبات دو قضیه پرآوازه‌اش به نحوی بازتاب یافت که سرنوشت ریاضیات و منطق را در قرن بیستم تغییر داد. در سال‌های اولیه انتشار مقاله تاریخی او تنها معدودی از نابغه‌های هم‌نسلش از جمله فون نویمن و تورینگ ارزش و اهمیت آن را درک کردند اما امروزه دیگر قضایای او فاکت پذیرفته‌شده‌ای است. پیامدهای فلسفی اثر او در طیف وسیعی از رشته‌ها از فلسفه ذهن گرفته تا هوش مصنوعی همچنان محل بحث و مناقشه است. تقریبا یکی، دو دهه پس از انتشار مقاله انقلابی گودل کم‌کم مشخص شد نیاز به آثاری هست که بتواند ایده‌های اصلی و نتایج پردامنه قضیه‌های گودل را برای مخاطبان علم منطق و ریاضیات تبین کند.
«اثبات گودل» (١٩٨٥) از نخستین آثاری بود که شرح قابل‌فهمی در این‌باره ارایه می‌کرد و چند بار نیز با ویراست‌های مختلف منتشر شده است. اخیرا کتابی با عنوان قضیه گودل از سوی انتشارات نیلوفر و با ترجمه رضا امیررحیمی منتشر شده که بخش اول آن ترجمه ویراست جدید کتاب کلاسیک «اثبات گودل» است که به زبانی تا جای ممکن آسان‌فهم، قضیه ناتمامیت گودل را توضیح می‌دهد. بخش دوم نیز حاوی چهار مقاله درباره شخصیت و زندگی گودل، دوستی او با اینشتین، قضیه ناتمامیت و خدمات علمی اوست که در قرن جدید و برای مخاطبانی عام نوشته‌اند. پرداختن به این کتاب ضروری است، از این باب که اگرچه مقاله تاریخی گودل مهم‌ترین اثر اوست، خدمات علمی گودل منحصر به آن نیست، چون قضایای گودل محدودیت‌های بنیادینی بر ریاضیات گذاشت و ضربه‌ای مهلک بر دنیای ریاضی و علوم وابسته به آن وارد کرد؛ قضایای او باور گسترده‌ای که ریاضیات را نظامی همساز و کامل بر پایه یک تک‌بنیاد منطقی می‌دانست، واژگون کرد. این واژگونی به سرعت از فلسفه تا سیاست را دربر گرفت. آنچه این روزها با عنوان امر تصمیم‌ناپذیر در ساحت سیاست مطرح می‌شود، برگرفته از همین نظریه است. از این‌رو، نخست باید نشان داد قضیه گودل چیست یا به عبارت بهتر درباره چیست؟
گودل در فضای ریاضیات عصر خود غرق بود که مشخصه اصلی آن شور و شوق برای صوری‌کردن بود. مردم متقاعد شده بودند که می‌توان از طریق قوانین محض دستکاری نماد به تفکر ریاضی دست یافت. در واقع با مجموعه ثابتی از اصل‌ها و مجموعه ثابتی از قاعده‌های مربوط به چیدن حرف‌ها می‌توان نمادها را جابه‌جا کرد و رشته‌های جدیدی از نمادها به وجود آورد که «قضیه» نامیده می‌شود. اوج این جنبش را می‌توان در سه‌جلدی ماندگار راسل و وایتهد به نام «پرینکیپیا ماتماتیکا» (مبادی ریاضیات) دید. آنها بر این باور بودند که ریاضیات را بر منطق محض پایه‌گذاری کرده‌اند و اثر آنها برای همیشه بنیادی استوار برای تمامی ریاضیات ساخته است. یکی، دو دهه بعد گودل نسبت به این تصور اصیل شک کرد. او در مطالعه الگوهای نمادها در این سه‌جلدی متوجه شد که این الگوها بسیار شبیه به الگوهای عددی هستند و او می‌تواند هر نماد را با یک عدد جایگزین کند و تمام «پرینکیپیا ماتماتیکا» را نه به‌مانند جابه‌جایی نمادها بلکه همچون محاسبه سریع اعداد از نو بفهمد. این پیچش موضوع، سرانجام غیرمنتظره‌ای داشت. چرا که در نظر گودل یادآور پارادوکس قدیمی خودارجاعی (Selfreference) بود، یا همان گزاره «این حکم نادرست است». پارادوکسی که قدمت آن به یونان باستان و به مواجهه مخالفان سقراط با او در تبیین علم منطق به‌عنوان روشی برای فکرکردن درباره حقیقت باز می‌گردد. فرم این پارادوکس به این شکل صورت‌بندی می‌شود: «این جمله غلط است»؛ اگر این جمله درست باشد پس باید غلط باشد و اگر غلط است پس باید درست باشد. گودل در مواجهه با همین پارادوکس‌ها بود که نتیجه گرفت می‌تواند از اساس یک صورت‌بندی از «پرینکیپیا ماتماتیکا» ارایه دهد که به شکل غیرمعقولی درباره خودش گفته باشد: «این صورت‌بندی از طریق قاعده‌های پرینکیپیا ماتماتیکا اثبات‌ناپذیر است». صرف نظر از چنین صورت‌بندی غریبی، تهدیدی بزرگ بر بنای راسل و وایتهد وارد شده بود. چون آنها حذف مطلق دور باطل را هدف خود قرار داده بودند و باور داشتند که نبرد را با پیروزی به پایان رسانده‌اند. حال آنکه به نظر می‌رسید دورهای باطل از در پشتی به دنیای بکر آنها وارد شده است.
اما صورت‌بندی خودویرانگر گودلی باید حل می‌شد و او با نبوغ خود این کار را به انجام رساند. او اثبات کرد اگرچه صورت‌بندی‌اش همچون یک پارادوکس است، اما به شکل ظریفی با آن تفاوت دارد. او نشان داد حکم صادقی وجود دارد که با استفاده از قاعده‌های این نظام اثبات آن امکان‌پذیر نیست.
به عبارت دیگر حکم صادقی وجود دارد که اثبات‌‌ناپذیری آن دقیقا از صدق آن ناشی می‌شود. او با این شیوه نه تنها دژ راسل و وایتهد را
فرو ریخت، بلکه این قضیه را در مورد هر نظامی که تلاش کند به اهداف آنها دست یابد نیز صادق دانست. در حقیقت، گودل امید آنانی را ناامید کرد که باور داشتند اندیشه ریاضی را می‌توان به انقیاد صلابت نظام‌های اصل-بنیاد (axiomatic) درآورد و از ریاضیدانان تا فیلسوفان را وادار کرد در مورد این ورطه اسرارآمیز و نویافته که به‌طور برگشت‌ناپذیری اثبات‌پذیری را از صدق جدا می‌کرد، بیندیشند. به موجب قضیه ناتمامیت گودل، هر نظام صوری با اصل موضوع ریاضیات که به اندازه کافی مستدل و قوی است، باید مشتمل بر گزاره‌ای «تصمیم‌ناپذیر» باشد؛ یعنی گزاره‌ای که خود آن و نقیض آن هیچ‌یک قابل اثبات نیست. بر این اساس، پس از گودل روشن شد هنر تفکر ریاضی را نمی‌توان با ماشینی‌کردن تفکر ریاضی یکی کرد؛ از این‌رو، پس از گودل تصور از ریاضیات و اساس «صدق» تغییر کرد. مسایلی که ٧٠ سال پس از انتشار مقاله دوران‌ساز او هنوز حل‌نشده باقی‌مانده است.
سلام خدا قوت
واقعا عالی بود پایدار باشید
سپاس از توجهتون 🌹